DIE BEUGERBIBEL

© DP Dirk Hauschild

2003-2004 Assistenzbeuger ^*

2004 - 2008 Chefbeuger ^*

ab 2008 Privatbeuger ^#

^* TU Chemnitz Professur „Physik dünner Schichten“ (PHDS)

^# http://www.dirkhauschild.de

E-Mail: ^* dirk.hauschild@physik.tu-chemnitz.de

^# edda@dirkhauschild.de

letzte Änderung: Montag, 22. März 2010

Inhaltsverzeichnis

1. Physikalische Grundlagen

1.1. Kinematische Streutheorie

Die gestreute Amplitude einer aus N Atomen bestehenden Substanz ergibt sich aus:

Mit den Atompositionen r_n und dem Atomformfaktor

Dieser ist komplex:

ist die Magnitude und η die Phase.

Der Formfaktor hängt von der verwendeten Strahlung ab. Für Röntgenstrahlung lautet dieser [1]:

mitder totalen Ladungsdichte und.

Die Umrechnung von s in Impulsüberträge K lautet. Damit ist für die Berechnung des Formfaktors aus Tabellenwerten die Kenntnis über die Wellenlänge der verwendeten Strahlung unwichtig. Das einzig wichtige ist die Art der verwendeten Strahlung.

Für Elektronen gilt:

Wenn die Elektronen eine sehr hohe kinetische Energie haben oder wenn das Potential klein genug ist kann man die Wellenfunktion ersetzen durch die ungestörte Wellenfunktion (erste Born-Näherung). Nimmt man zusätzlich an das Atom ist sphärisch symmetrisch ergibt sich:

mitdem Atompotential, der Differenz zwischen dem Potential erzeugt durch die Nukleonen und dem durch die Elektronen. Man beachte, dassnicht komplex ist!

Gl. 5 gilt nur für neutrale Atome. Für Ionen ändert sich das Atompotential zu:

Damit wird Gl. 5 zu:

Über die Poisson Gleichung kann man beide Formfaktoren ineinander umrechnen:

Bei einem Streuwinkel von wird und Gl. 8 ist nicht lösbar. Werte für diesen Streuwinkel erhält man durch Extrapolation zu:

Mit r, dem Atomradius.

Die Werte für Formfaktoren sind in zahlreichen Werken tabelliert, z.B. [1][2].

Einschub 1: relativistische Elektronen:

Bei den Formfaktoren für Elektronen muss der tabellarisierte Wert noch mit einem Wert multipliziert werden, welcher die relativistische Massenzunahme des Elektrons berücksichtigt. Dieser Faktor ist:

Für Elektronen mit einer Beschleunigungsspannung von U_H=-68keV ist dieser Faktor 1,133 (v/c=0,47). Für U_H=-200keV (Schultze) ist der Faktor 1,391 (v/c=0,69).

Abbildung 1: relativistischer Faktor der Elektronen

Auswirkungen:

Eine testweise Auswertung mit den verschiedenen Beschleunigungsspannungen (U_H = 0 eV, U_H = -68 keV, U_H = -200 keV) ergab bei der Dichte eine maximale Abweichung von 0,1%. Die Unterschiede in den Intensitäten sind sogar noch geringer (s. Abb. 4 und 3).

Abbildung 4: Änderung im I(K) durch F_R

Ende Einschub

Messbar ist jedoch nicht die Amplitude, sondern nur die Streuintensität:

Separiert man den Anteil, der vom gleichen Atom stammt erhält man:

Für Legierungen definiert man gewichtete Atomformfaktoren, in welche die Konzentrationen und die Atomformfaktoren der beteiligten Komponenten eingehen:

mit c_i und f_i(K) den Konzentrationen bzw. Atomformfaktoren der Komponenten.

Nun führt man ein ein, sodass die Anzahl der Atomzentren im Volumenelement im Abstand vom Atom m ist. Damit ergibt sich durch Ersetzung der Summe in Gl. (12) durch ein Integral über das Probenvolumen V_p ():

Im nächsten Schritt wird ein Faktor mit der mittleren Dichteder Legierung addiert und subtrahiert, so dass Gl. (14) wird zu:

Der letzte Summand kann in den meisten Fällen vernachlässigt werden (siehe S. 8).

Für einen amorphen Körper, in dem Kugelsymmetrie vorliegt, vereinfacht sich das erste Integral in Gl. (15) folgendermaßen (Kugelkoordinaten,„ausgeklammert“):

Substitution von ergibt

Integriert über ergibt sich:

die Klammer ergibtund damit:

damit und mit, der reduzierten Dichteverteilung, sowie mit , der Atomzahl wird Gl. (15) zu:

Bzw. zur Debye-Streugleichung [3] (vgl . Gl. (11))

folgende Abkürzung wird verwendet:

I(K) nennt man Interferenzfunktion.

Wenn die Differenz zwischen den Mittelungen der Formfaktoren groß, dann äußert sich dies in der diffusen Lauestreuung [4], welche einen strukturlosen Anteil zu I(K) beiträgt und es gilt außerdem, sonst gilt .

Der Term in Gl. (22) gibt die Anzahl der Atome an, die im Mittel einen bestimmten Abstand zu einander haben. Damit ergibt sich kurz:

Würde zwischen den N Atomen der Streusubstanz keine Korrelation bestehen würde man Nf² messen.

Abbildung 5:

Die amorphe Schicht, bestehend aus N Atomen streut

Daraus folgt

Es wird zusätzlich noch ein Korrekturtermeingeführt, der die in bei der Elektronenbeugung in Transmission nicht beobachtete Kleinwinkelstreuung berücksichtigt [5][4][6][7]. Damit wird Gl. 26 zu

Diese Methode kann nur angewendet werden, wenn bei K_max keine Oszillationen mehr auftreten [7].

Bei der Aufnahme des Streuspektrums wird nebenauch der Untergrund U(K) gemessen. Die gesamte Streuintensität wird mitbezeichnet, so dass gilt:

Einschub 2: der vernachlässigte letzte Summand

In Gl. (15) wurde der letzte Summand als vernachlässigbar angesehen, dies wird nun weiter untersucht. Nennen wir diesen Summanden S₃.

Unter Verwendung der Gleichungen (16) bis (19) ergibt sich analog

Die obere Integrationsgrenze ergibt sich aus der Integration über die gesamte Probe (bzw. das durchstrahlte Volumen) mit dem Radius R_P. Die Integration ergibt:

Unter Kenntnis der Probengeometrie kann man den Einfluß von S₃ abschätzen. Die Probe besteht aus einer Aufdampfschicht mit einer typischen Dicke d = 30nm auf einer kreisförmigen Lochblende mit dem Durchmesser 2r = 20μm (Beugungskryos PHDS, beim Schulze ist der Durchmesser anders, fragen!) Aus dem Probenvolumen und dem äquivalenten Kugelradius

folgt R_P = 1300nm (Schulze: ...). Aus Gl. (22) und einer Integration analog zu S₃ folgt (Integration für große r, n(r) = n₀):

mit R_g dem Radius eines geordneten Bereiches um jedes Streuzentrum. Es dominieren jeweils die cos-Terme und damit folgt als Verhältnis:

Mit R_g der Schichtdicke = 30nm folgt für K = 5 nm^-1, für K = 100 nm^-1 . Für amorphe und nanokristalline Stoffe ist die Vernachlässigung von S₃ also sicher gerechtfertigt.

Ende Einschub

Der Strukturfaktor ist definiert als S(K) = I(K) + 1.

Durch eine Fouriertransformation von(der Strukturfunktion) erhält man die reduzierte Paarkorrelation G(r) :

G(r) entspricht einer mit r gewichteten Dichteschwankung um ein Aufatom bei. Für Abstände, mit dem Nächstnachbarabstand r₁, gilt für die radiale Dichtefunktionund G(r) liefert in diesem Bereich n₀. Über eine Rücktransformation, bzw. Gl (23), von G(r) erhält man wieder I(K).

Abbruchoszillationen im Orstraum:

Bei der Berechnung von G(r) treten immer Abbruchoszillationen auf. Diese Oszillationen mit kleiner Wellenlänge treten zwangsläufig auf, da im Impulsraum nicht bis Unendlich integriert werden kann. Um diese Oszillationen zu reduzieren sollte man also den Integrationsbereich im Impulsraum so groß wie möglich wählen (Abbruchstelle bei großen K!). Der maximale Impulsübertrag K_max gibt die Auflösung Δ_r=2π/K_max im Ortsraum an [8]. Alle Strukturen unterhalb Δ_r sind Artefakte und auf Abbruchoszillationen durch K_max zurückzuführen.

Möglichkeiten im Impulsraum:

• die Abbruchstelle sollte entweder bei I(K_max)=0 liegen, oder die Ableitung an dieser Stelle sollte Null sein

• Kanten oder Sprünge in der Interferenzfunktion sollten vermieden werden (siehe guter Fit)

• die „Parabel“ sollte einen glatten Übergang zur Interferenzfunktion haben

• da Sprünge vermieden werden sollten, die Abbruchstelle aber meist einen verursacht wurde die Möglichkeit eingebaut ab der Abbruchstelle eine gedämpfte Sinuskurve anzulegen. Die Wellenlänge dieses Sinus ist gleich K_pe um zusätzliche Struktur im G(r) zu vermeiden. Allerdings ist das Ergebnis meist nicht befriedigend.

• die untere Integrationsgrenze sollte bei K=0 nm^-1 liegen.

Es gibt verschiedene mathematische und physikalische Ansätze um Abbruchoszillation zu vermeiden, bzw. zu identifizieren und „wegzurechnen“. Im folgenden werden einige genutzte Ansätze diskutiert.

Das eigentliche Problem ist die begrenzte Breite des Spektrums. Die Fouriertransformation erstreckt sich im korrekten Fall von -∞ bis +∞. Da nur ein begrenzter Bereich zur Verfügung steht integriert man folgendermaßen:

Wobei R(K) eine Rechteckfunktion angibt, die dem zur Integration zur Verfügung stehendem Bereich entspricht :

Daraus folgt:

Sollte nun I(K) an der Stelle K=K_max ungleich 0 sein, ist also an dieser Stelle eine Kante, werden zusätzliche Fourierkomponenten benötigt, welche diese Kante beschreiben. Diese zusätzlichen Fourierkomponenten sind die so genannten Abbruchoszillationen im Ortsraum. Diese Oszillationen hängen von K_max und von der Intensität I(K_max) an dieser Stelle ab. Der Beitrag im Ortsraum sollte sich einfach berechnen lassen:

Beispiel: I(K_max)=1, K_max=100 nm^-1

Abbildung 6: Abbruchoszillationen

Anmerkung:

in der Literatur wird für den Beitrag der Abbruchstelle angeben:

(rote Kurve nach Gl. 39, blaue Kurve nach Gl. 40 mit C= 3000 multipliziert!)

Abbildung 7: FT vom Kasten mit I(K)= 1 und K_max= 100

Zur Reduzierung der Abbruchoszillationen ist es notwendig das einerseits gilt I(K_max)=0 und es ist außerdem ein glatter Übergang notwendig, also möglichst dI(K_max)/dK=0. Um dies zu erreichen gibt es verschiedene Ansätze. Alle diese Ansätze multiplizieren die originale Interferenzfunktion mit einer Korrekturfunktion, die dafür sorgen soll, das I(K_max)=0 wird und für alle K>K_max gilt I(K)=0.

Alle diese Funktionen haben aber den Nachteil, das sie auch die Werte für K<K_max ändern und damit Änderungen der Peakhöhen im G(r) bewirken und damit eine Änderung der Dichte nach sich ziehen. Zwei Korrekturfunktionen werden zur Zeit verwendet (sowohl bei uns, als auch von anderen Gruppen). Zum einen ist das die Lorchfunktion [8]

Abbildung 8: Lorch-Funktion

Allerdings ist bei dieser der Übergang bei K_max nicht glatt.

Eine weitere genutzte Funktion ist eine Exponentialfunktion [3]:

Mit einer wählbaren Konstanten α², so daß gilt C_E(K)≈0 .

Abbildung 9: Exponentialfunktion (α²=0,0005)

Eine Möglichkeit den Nachteil des nicht glatten Überganges der Lorch-Funktion zu umgehen wäre diese zweimal anzuwenden

Abbildung 10: doppelte Lorch-Funktion

Eine weitere Fehlerquelle für Abbruchoszillationen ist natürlich die untere Integrationsgrenze. In EDDA ist diese aus programmtechnischen Gründen K=0 nm^-1(dies verlangt die FFT). Sollte diese Grenze bei K>0 nm^-1 liegen werden die „fehlenden“ Werte I(K)=0 gesetzt. Dies passiert übrigens auch bei einer Integration, die nicht per FFT durchgeführt wird, sondern als Summation von K_min bis K_max. Dabei kommt es natürlich ebenfalls zu einer Kante die Abbruchoszillationen im Ortsraum nach Gl. 39 (K_max → K_min) erzeugt. Da aber neben dem Wert I(K_min) auch der Wert K_min in die berechnung eingeht und dieser klein ist sind die resultierenden Abbruchoszillationen im allgemeinen klein und verschwinden bei K_min=0 nm^-1, obwohl hier natürlich ebenfalls eine kante mit der Höhe I(K=0) besteht. Untersuchungen zur unteren Integrationsgrenze wurden auch bereits von [9] durchgeführt.

Abbruchoszillationen im Impulsraum:

Bisher wurde nur über Abbruchoszillationen im Ortsraum diskutiert. Es sollten aber natürlich auch Abbruchoszillationen bei der Rücktransformation vom Ortsraum in den Impulsraum auftreten, da auch hier nur ein endlicher Bereich für die Transformation zur Verfügung steht.

Interessanterweise sind diese Oszillationen beim Transformieren nicht sichtbar. Warum nicht?

Analog zu den Abbruchoszillationen im Ortsraum kann man auch diejenigen im Impulsraum berechnen:

Mit R(r) einer Rechteckfunktion im Ortsraum und der Amplitude R_0. Damit ergibt sich:

Allerdings sind diese Oszillationen sehr klein, da einerseits R₀ sehr klein ist (R₀<1) und durch den Faktor K^-2 die Oszillationen nur für kleine K nennenswerte Werte haben.

Beispiel: Al₄₅Cr₅₅: R₀ = -0,86, r_m = 3,83nm

Abbildung 11:

Die Abbruchoszillationen sind sogar schon unterhalb eines möglichen Vormaximums zu vernachlässigen, so dass davon auszugehen ist, das Abbruchoszillationen im Impulsraum keinen Fehler verursachen, weder in zusätzlichen Maxima, noch in der Verschiebung von Maxima und auch nicht in einer Änderung der Intensität.

Aus G(r) erhält man die Paarkorrelation g(r):

Für die Paarkorrelation gilt die Normierung:

Aus der Ornstein-Zernike Gleichung:

folgt die direkte Korrelationsfunktion c(r) über die totale Korrelationsfunktion h(r) [10].

Die Fourier-transformierte von h(r) ist:

Daraus folgt sofort:

Mit der totalen Korrelationsfunktion kann man die Kompressibilität berechnen, die im Strukturfaktor im Wert für S(K=0) enthalten ist.

Für die Strukturanalyse wichtig ist weiterhin die radiale Verteilungsfunktion (RDF) D(r):

Sie gibt an, wie viele Atome in einer Kugelschaleum ein beliebiges Aufatom liegen. Der Faktorin Gl. (53). entspricht der Oberfläche dieser Kugelschale. Im Zweidimensionalen wäre der Faktorentsprechend dem Umfang eines Kreises und im Eindimensionalen dem Abstand. Die Fläche unter dem ersten Maximum der RDF ergibt die Zahl der nächsten Nachbaratome (Koordinationszahl, N_c) [6].

Wobei r₁ den Abstand bis zum ersten nächsten Nachbarn angibt. Allgemein kann man schreiben:

Diese Funktion oszilliert um

Die Differenz zwischen (55) und (56), reduzierte Teilchenzahl-Funktion [11] berechnet sich zu:

mit der reduzierten radialen Dichtefunktion [11]:

Die reduzierte Teilchenzahlfunktion f(r) oszilliert um -1, Für r-Werte unterhalb des ersten nächsten Nachbarn r₁ gilt analog (35)und es gilt

Daraus lässt sich die experimentelle Teilchenzahldichte n₀ bestimmen zu [11]:

Allerdings ergeben sich nur für Schmelzen korrekte Werte, für amorphe Legierungen liegen die berechneten Werte zu niedrig. Aus (55) und (60) ergibt sich ebenfalls eine Möglichkeit der Bestimmung der Koordinationszahlen aus der experimentellen Teilchenzahldichte:

bzw. für verschiedene Koordinationssphären:

Aus der RDF ergibt sich die radiale Dichteverteilungzu:

1.2. Übersicht der Formeln

Ortsraum:

Impulsraum: