Physik
Wenn Sie sich schon immer gefragt
haben, woher Physiker ihre Formeln haben und warum Formelsammlungen
eigentlich so dick sind, obwohl das (größtenteils) unnötig
wäre, hier gibt es einige Antworten. Diese Seiten erheben bei
weitem nicht den Anspruch vollständig zu sein.
Es geht
hier hauptsächlich nur um die wichtigsten Formeln.
Aufgrund
meiner Tätigkeit an der TU Chemnitz habe ich mich sehr
ausführlich mit Elektronenbeugung und mit der dazu notwendigen
kinematischen Streutheorie beschäftigt. zu diesem sehr
umfangreichen Gebiet habe ich hier eine extra
Seite.
Inhalt: Formelzeichen Grundformeln Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz Weg-Zeit-Gesetz
Herleitung ohne
Integralrechnung Kraft kinetische
Energie Rotationsenergie,
Trägheitsmoment Zentripedalkraft
Bernoulligleichung
Ladung im
elektrischen Feld
Die Einheit
„Elektronenvolt“
Mechanik
Formelzeichen a-
Beschleunigung v- Geschwindigkeit t- Zeit s-
Weg E- Energie F- Kraft p- Impuls m-
Masse
Grundformeln
1.
2.
3.
4.
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz Die ganze Mechanik baut
sich auf einigen wenigen Grundformeln auf. Die erste, die wir
benutzen wollen ist:
umgestellt
nach dv ergibt sich:
das
kann man jetzt integrieren und erhält:
genau
die Formel, die in Formelsammlungen für die Geschwindigkeit
einer beschleunigten Bewegung angegeben wird. Hinweis: v0
da es eine unbestimmte Integration ist und deshalb eine
Integrationskonstante von nöten ist. Diese muß als Einheit
natürlich die Einheit einer Geschwindigkeit haben, also eben die
Anfangsgeschwindigkeit. Und wenn die Bewegung nicht beschleunigt
ist? Dann ist a = 0 und damit v = v0,
der Anfangsgeschwindigkeit.
Weg-Zeit-Gesetz
Jetzt
wissen wir wie groß die Geschwindigkeit ist und wollen wissen
welchen Weg man damit zurücklegen kann. Die
Geschwindigkeit ist außerdem (Grundformel 2):
das
integrieren wir wieder und erhalten:
den
Weg, den ein Körper mit einer bestimmten Beschleunigung, einer
bestimmten Anfangsgeschwindigkeit in einer bestimmten Zeit
zurücklegt. Hinweis: s0 wieder wegen
unbestimmter Integration.
Einschub:
Alternative Herleitung ohne
Integral
Für alle diejenigen, die mit
Integralrechnung auf Kriegsfuß stehen, oder in der Schule keine
Integralrechnung hatten, folgt hier eine Herleitung auf geometrischer
Basis (was letzten Endes die Grundlage für Integralrechnung
ist) Betrachten wir uns erst mal ein
Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm einer beschleunigten Bewegung, mit
einer Anfangsgeschwindigkeit:
Wie wir wissen ist der Weg die Fläche unter dem Graphen.
Teilen wir diese Fläche nun in geometrisch gut zu beschreibende
Teile auf, also in ein Dreieck und ein Viereck:
Das
Rechteck hat eine Fläche (Fläche A ist gleich Weg s)
von
und
das Dreieck eine Fläche von.
Das Stückist
aber gerade(siehe
Abbildung), also ist die Dreiecksfläche.
Die Summe aus beiden Wegen ist der Gesamtweg:
Genau das Ergebnis, was wir erwartet haben. Einziger Unterschied
zur Herleitung mittels Integralen ist, das man hier den Anfangsweg
„per Hand“ dazu addieren muß.
Ende
Einschub
Wenn die
Beschleunigung a = 0 ist, also eine gleichförmige Bewegung
vorliegt, ist der erste Summand Null und damit s = v0
t + s0. Da fragt man sich doch warum in
Formelsammlungen für die verschiedenen Bewegungsarten jeweils
einzelne Formeln angegeben werden, obwohl zwei reichen?
Was
ist aber, wenn man keine Translation vorliegen hat sondern eine
Rotation? Antwort: Man ersetzt einfach die Beschleunigung durch
die Winkelbeschleunigung, Geschwindigkeit durch Winkelgeschwindigkeit
und Weg durch Winkel, fertig.
Wurf (senkrecht, waagerecht
und schräg)
Wenden wir uns erstmal einem senkrechten
Wurf nach oben oder unten (auch freier Fall genannt) zu. Da hier
nur eine Bewegungsrichtung, eben nach oben oder unten, die
z-Richtung, eine Rolle spielt braucht man hier noch keine Vektoren.
Diese Bewegung ist eine Bewegung im Erdschwerefeld und damit eine
beschleunigte Bewegung. Die Beschleunigung a ist hier natürlich
die Erdbeschleunigung g = 9,81... m/s². Da diese Beschleunigung
nach unten wirkt ist a = -g. Das ist streng genommen nicht ganz
korrekt, da sich die Erdbeschleunigung mit der Höhe ändert
(wird kleiner), aber näherungsweise und für "kleine"
Höhen kann man das so verwenden. Und schon kann man die
Formel für einen senkrechten Wurf mit dem allgemeinen
Weg-Zeit-Gesetz aufstellen.
Hinweis:
In Tafelwerken wird als "Weg" die Höhe
bezeichnet, was sinnvoll ist, da sich ja die Höhe
ändert, aber es ist im weitesten Sinn trotzdem ein Weg.
Möchte
man wissen, wie die Geschwindigkeit in einer bestimmten Höhe ist
nimmt man das allgemeine Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz von oben her
und ersetzt nur a durch -g und fertig.
Bei
einem waagerechten Wurf ist die Situation etwas anders. Hier
hat man eine Bewegung in zwei Richtungen, einmal in x-Richtung
(parallel zur Erdoberfläche) und in z-Richtung, eben weil wieder
die Erdanziehung auf den Körper wirkt. In x-Richtung gibt es
bekanntlich keine Beschleunigung, also ist im allgemeinen
Weg-Zeit-Gesetz a=0 und es ergibt sich:
In
z-Richtung wirkt die Erdbeschleunigung und damit wird a=-g, v0
= 0 (ACHTUNG: hier ist v0 in z-Richtung gemeint, da
es ein waagerechter Wurf ist, ist diese Komponente natürlich
Null!). Damit ergibt sich:
Verblüffend,
oder? Was man mit dem allgemeinen Weg-Zeit-Gesetz und
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz alles machen kann.
Kraft Die
Kraft ist allgemein die Impulsänderung mit der Zeit (Grundformel
3). Da der Impuls Geschwindigkeit mal Masse ist folgt sofort (unter
Benutzung von Grundformel 1):
Der
erste Summand gibt die Kraft an, die auf einen Körper wirkt,
wenn sich dessen Masse ändert (bspw. bei einer Rakete, die ihren
Treibstoff verbrennt und nach hinten rausbläst). Da dieser Fall
äußerst selten ist, wird dieser Summand im Alltag meistens
Null und übrig bleibt der zweite Summand, welcher die bekannte
Beziehung F=ma angibt.
Anmerkung: da die Kraft die
Impulsänderung pro Zeit angibt wird die Kraft auch Impulsstrom
genannt.
kinetische Energie
Damit können
wir nun für einen bewegten Körper angeben wo und wie
schnell er ist. Nun wollen wir wissen welche Bewegungsenergie er
hat. Dazu benötigen wir Grundformel 4:
Die
Energie ist das Integral der Kraft über den zurückgelegten
Weg. Die Kraft kennen wir aus dem 3. Newtonschen Axiom (siehe oben
mehr):
die
Beschleunigung und Geschwindigkei ersetzen wir über
und
erhalten
das
ergibt
die
kinetische Energie.
Potentielle Energie
Die potentielle Energie läßt
sich am einfachsten herleiten. Dazu brauchen wir wieder die
Grundformel 4:
und mit
bzw.,
da wir uns ja im Erdschwerefeld bewegen
und
außerdem ersetzen wir den Weg s noch durch die Höhe
h ergibt sich.
die potentielle
Energie.
Anmerkung: im realen Fall
ist die Erdbeschleunigung von der Höhe abhängig. Sie nimmt
nämlich mit der Höhe ab und zwar gemäß dem
Newtonsche Gravitationsgesetz zwischen zwei Körpern.
(γ
-
Newtonsche Gravitationskonstante, m, M – Massen der beiden
Körper, r – Abstand der Massenmittelpunkte)
Ein Vergleich mit
ergibt:
(mit
r dem Radius des Körpers, ergibt im Falle der Erde an der
Oberfläche den bekannten Wert von g =9.81 m/s²)
Bzw. mit der Höhe h:
(RE
– Erdradius)
ergibt das:
(sogar
richtigerweiße Minus, da Energie frei werden muß, wenn
die Höhe abnimmt)
Rotationsenergie, Trägheitsmoment
Nehmen
wir an eine Punktmasse rotiert um einen Punkt mit der Geschwindigkeit
v. Diese Punktmasse hat natürlich eine kinetische
Energie.
Ersetzen
wir die Geschwindigkeit v durch die
Winkelgeschwindigkeit
Jetzt
lassen wir nicht eine Punktmasse rotieren, sondern viele. Die
Gesamtenergie ist also die Summe der einzelnen kinetischen Energien.
Damit ergibt sich:
Bei
einem Körper geht man zum Integral über:
Jetzt
definiert man das Trägheitsmoment J:
und
erhält:
die
Rotationsenergie.
Zentripedalkraft
Nehmen
wir Grundformel 4 zur Hand und formen diese etwas um erhalten
wir:
Setzten
wir in diese Formel die Rotationsenergie ein:
Daraus
folgt durch Ausführung der Integration über dm:
die
Zentripedalkraft.
Bernoulligleichung
Wie wir wissen ist der Druck per Definition Kraft pro Fläche,
also:
da
folgt
durch simples einsetzen:
.
Da A eine Fläche ist, die mit einer weiteren Länge (s)
multipliziert wird ergibt das zusammen ein Volumen, also:
.
Jetzt erinnern wir uns an die Energieerhaltung, die Gesamtenergie ist
immer konstant. Die Gesamtenergie setzt sich unter anderem aus
kinetischer und potentieller Energie zusammen und einem
„Energierest“:
.
Diese Gleichung teilen wir jetzt durch das Volumen V:
.
Zuletzt ersetzen wir noch m und V durch die Dichte ()
und erhalten:
, die Bernoulligleichung, die also im Grunde nichts weiter ist
als die Energieerhaltung.
Ladung im elektrischen Feld
Die elektrische Feldstärke in einem homogenen elektrischen
Feld, z.B. in einem Plattenkondensator, hängt nur von der
Spannung und dem Abstand ab.
Die Kraft, die in solch einem Feld auf eine Ladung wirkt ist.
Da die Kraft aber auch allgemeinfolgt
durch einsetzen
Nun ersetzen wir noch die Beschleunigung (s. Oben) und kürzen
den Weg/Abstand
Der Ausdruck links vom Gleichheitszeichen sollte uns bekannt
werden, das ist nämlich nichts anderes, als die kinetische
Energie und damit folgt kurz:
,
und fertig!
Nehmen wir mal an wir haben ein Elektron in einem
Feld mit der Spannung U=1V. Die Ladung ist dann die Elementarladung
des Elektrons, also q = e = −1,602176487 10-19
C. Setzen wir das in obige Gleichung ein steht da:
Als Einheit muß natürlich Joule rauskommen, die Einheit
der Energie:
klappt also und damit steht in obiger Formel nichts anderes, als:
,
oder in Worten: Ein Elektronenvolt ist gleich (-)1,602176487
10-19 J.
wird fortgesetzt.......................
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